阿西吧这两天人又突然好少啊,只能拿出备用的文章了啊。这是翻译自6P上Patrick Roberts的文章,原文地址点这。虽然是13年的文章,但概率的思想却是通用,希望能帮助大家科学的看待卡组。

介绍

这是关于口袋妖怪TCG概率的系列文章中的第一篇。在本文中,我们会讨论起始手牌的概率。

如果你不是“数学向”的TCG玩家,那也不用担心,因为我最大可能的做好了这篇文章的“用户友好”体验,来帮助每一位玩家(不只是数学geek)。

因为这会是篇长的文章,我分成了几章几节来方便阅读。我也意识到你们可能在游戏的特定过程中(比如卡表),会想直接跳掉文章的某一部分,所以文章的结构至关重要。

文章结构是这样的:每个版块会被标号,版块里的部分也是。比如“3.2”代表第3章第2节。在文章中使用的公式和数据表也会被标上所在版块的数字。

比如“3.1;公式1”代表了第3章第1节的一个公式,是文章的第1个公式(所以叫做公式1)。再比如“3.1 表格1”代表了在第3章第1节的第1个表。

在第3章的每一节中都只有1个公式,合起来就是文章中所有的公式了。我希望你能通过阅读本文学到很多。

内容列表

1.0:概率

(其实直接可以跳过这章不翻的,就当尊重原作者了——编者)

在我开始讲前,我希望你们如果完全理解概率的内容的话,就请跳过。但是如果你了解不多,请认真阅读并尽可能的理解,这对于后面内容有帮助。

为了尽快的开始分析,我先定义“概率”。

概率——一个事件会发生的可能。

作为一个非常简单的例子,比如抛硬币。当你抛了一个硬币后,你可能会听到这是“50-50”的几率抛出正面。这代表了抛正面的百分比几率。为了得到抛正面的“百分比几率”,我们首先要找到抛正面的“数字概率”。(数字概率是表示几率的数字)

因为就像抛正还是反,我们能把得到理想结果方法的数字,除以所有可能结果,来得到“数字概率”。

所以我们抛正的概率是抛正的方法的数字,除以总共的可能结果,就是1/2或者0.5。所以0.5代表了抛正的概率。

为了简化这点,我将把结果乘以100来转化成百分比(因为百分比在阅读时更容易理解)。

0.5×100=50%(这也是我们抛反的概率因为抛反也是2个可能结果中的1个)

另一种说法是我会“一半的时候”抛正。换句话说,当你多次抛硬币时,你会在抛的次数的一半时得到正。你可能已经知道“百分比”代表了一件事物在100次试验时发生的概率。

进一步讲,“50%”意味着这件事在100次试验时会发生50次,大约一半。60%意味着在每100次试验时,这件事应该大约发生60次。我们应该注意一个特定结果不发生的概率并不等于1减去这件事发生的概率,或者100减去这件事发生概率的百分比(这在后面的会用到)。

另一个重点是,事件“A”发生的概率或者事件“B”发生的概率等于A的概率加上A的概率。换句话说,如果P(A)和P(B)是事件A和B发生的概率,那么AB发生的概率等于P(A)+P(B)。

注意A和B必须是独立的事件。这代表A和B互相之间不影响对方,不然A或者B发生的概率会根据哪个事件先发生而产生变化(但我们不用担心这点)。

另一个有用的算法是AB同时发生的概率。这个概率是:P(A)P(B),代表乘号。注意如果你将一个百分比乘以另一个百分比,你就相当于将两个早已乘以100的数字相乘。

所以如果你想用P(A)*P(B)计算这篇中的数据,你需要将结果除以100来得到AB同时发生的百分比。因为我没有时间具体解释,你也不需要知道,我们继续。希望你能在后面的过程中更好的理解概率。

2.0:口袋妖怪TCG中的概率

在我们继续之前,我们要讨论一点:概率是理想概念,这意味着在现实世界中,结果只倾向于我们计算的概率,而不一定完全一样。然而,如果我们重复试验大量的次数,结果将更倾向于计算概率。

这可能有点混乱,让我用个例子解释。假设你抛了两次硬币,得到了两个“正”。抛正的数字除以总次数为2/2=1.但是抛正的概率应该是1/2(每两次中的一次)!这是因为试验的次数(抛硬币)太低了。

为了将这个计算结果趋于1/2,只要简单的增加试验的次数。这也适用于口袋妖怪TCG:计算的概率会在大多数时候预测到发生什么。

让我们回到正业中:我们会讨论从随机卡组中抽到特定卡的概率。我知道在现实环境中,有着特定洗牌偏好的人会影响“测定”结果,或者是“现实”概率,但是只要卡组是随机的,它就不会离预计的结果太远。所以我们能确定我们足够准确。

这篇文章的主要目的是用数学模型来预测游戏中发生的事件,并应用于游戏中来构筑更好的卡组,以及助于游戏中的抉择。然而,这需要一些数字,所以话不多说我们进入到下一步。

3.0:数据,数据,数据!

在这章中我们将讨论多个概率模型。这些是告诉你特定事件发生的特定公式(我会详细解释)。请注意这些公式使用“二项系数”,这是计算“排列组合”的方法。

你不用理解这些是什么(咱天朝初中生都能理解的好么——编者),但我希望为那些想要知道的人提一下。为了方便阅读,我将把这章分成几节。

每一节都会和第4章中的对应节相关,第4章会给出每个公式的应用。举个例子,4.2会包括3.2 公式2的应用。

这是第一节:

3.1:起手不换牌的概率

第一个数据集合中我们会讨论我命名(误)的数据集合:P(M,N,X)。让我详细解释:P(M,N,X)是你从随机包含“M”张卡中,抽“N”张卡摸到至少1张特定卡的概率。我把“X”定义为你想要的那张卡的总张数。

可能有点绕,所以我们举个例子来方便理解:

假设你的卡组中有4张Dark Explorers版的噩梦EX。P(60,7,4)是你在游戏开始时抽7张卡抽到至少1张噩梦EX的概率。

“60”代表了卡库中剩下的卡,“7”代表了你抽的卡,“4”代表了你想要的卡的总数字。

通过数学,我得到了通过数字M、N、X来计算这个概率的方法。为了这篇文章的目的,我们只讨论M=60和N=7的情况,因为我们只考虑游戏开始阶段。

这就是公式:

3.1:公式1

好,深呼吸。。。放松。这只是个你不必要理解的公式(就像高中数学课是不?)请注意公式利用了数学上称的“排列组合”,可能需要一点背景知识来理解。但是想知道公式怎么运作的同学可以私信我,我很乐意解答!

现在你可能会问:“好吧,这‘排列组合’和我的水马EX卡组有什么关系呢?”问的好,但我将在4.1章中阐述。现在我不指望你们知道如何计算,我会提供数据表来让你们看到结果:

3.1:表1

X (Number of Copies of Desired Card) P(60,7,X)
1 11.67%
2 22.15%
3 31.54%
4 39.95%
5 47.46%
6 54.14%
7 60.09%
8 65.36%
9 70.02%
10 74.14%
11 77.76%
12 80.94%
13 83.72%
14 86.14%
15 88.25%
16 90.08%
17 91.66%
18 93.01%
19 94.18%
20 95.17%
21 96.02%
22 96.73%
23 97.33%
24 97.84%
25 98.26%
26 98.61%
27 98.89%
28 99.13%
29 99.32%
30 99.47%

(如果你想要30张以上Basics,你可能需要帮助)

让我告诉你怎么看这个表(如果你已经知道请跳过)。为了帮助你理解,让我举个例子:

让我们假设你的卡组中有4个Basic,表中说明了你在游戏开始时有39.95%的概率摸到Basic。

从表中看出,P(60,7,X)在X=4时对应的结果是39.95%。表的右栏是一共下了多少Basic,表的左栏是从60张卡中摸7张得到至少1张Basic的概率。

你也能用P(M,N,X)的模型来计算你在游戏开始时,没有Basic被压奖品的概率。我们只需要使用P(59,6,X),因为奖品是6张,而且踢出了1张Basic(因为起手时需要1张Basic,剩下的59张可能会被压奖品)。这是这种情况的数据表:

3.1:表2

X (Number of Copies of Desired Card) P(59,6,X)
1 10.17%
2 19.46%
3 27.94%
4 35.66%
5 42.68%
6 49.05%
7 54.82%
8 60.03%
9 64.73%
10 68.96%
11 72.76%
12 76.17%
13 79.21%
14 81.92%
15 84.33%
16 86.47%
17 88.36%
18 90.02%
19 91.48%
20 92.76%
21 93.87%
22 94.84%
23 95.68%
24 96.40%
25 97.02%
26 97.54%
27 97.99%
28 98.37%
29 98.68%
30 98.95%

 

除了3.1的这两张表,我有第3张包括了这俩,但是用颜色标注了百分比:P(Not Mulligan).xlsx。我会在后面介绍这些颜色的“窗口”,现在让我们继续。

3.2:起手至少有X张Basic的概率

在我们开始这个模型之前,我需要致敬一个人。Adam Capriola(这网站的老大)给我发了Daniel Lee的这篇文章

这篇文章阐述了你起手有至少一定数目的Basic的概率。这篇文章的作者在我之前计算了,但我没有意识到,我在看到这个链接前得出了下面的公式。

唯一的区别是我把这种概率叫做P(M,N,Y,A),我已经计算了多次。我十分建议时间允许的话请阅读他的文章。他用了不同的方法,而且做得不错。

继续:P(M,N,Y,A)是你从卡组中摸“N”张卡摸到至少“A”张Basic的概率。让我详细解释:M是卡组的总数,N是要抽的牌数,Y是卡组中的Basic数量,A是你想要抽到的Basic数量:

3.2:公式2

为了帮助你们理解,让我们举个例子:假设我们卡组中有60张卡,12张Basic,我们起手时抽7张卡。P(60,7,12,2)就是起手摸到至少2张Basic的概率。这是数据表:

3.2:表1

Y (Number of Basics) P(60,7,Y,2) P(60,7,Y,3)
1 0% 0%
2 5.36% 0%
3 10.64% 0.32%
4 15.82% 0.97%
5 20.91% 1.93%
6 25.89% 3.21%
7 30.75% 4.78%
8 35.48% 6.65%
9 40.06% 8.79%
10 44.50% 11.20%
11 48.78% 13.85%
12 52.89% 16.73%
13 56.83% 19.82%
14 60.58% 23.09%
15 64.15% 26.51%
16 67.53% 30.07%
17 70.72% 33.74%
18 73.71% 37.48%
19 76.51% 41.28%
20 79.11% 45.10%
21 81.52% 48.92%
22 83.74% 52.71%
23 85.78% 56.44%
24 87.63% 60.09%
25 89.31% 63.64%
26 90.82% 67.07%
27 92.17% 70.36%
28 93.37% 73.49%
29 94.43% 76.45%
30 95.36% 79.23%

 

现在告诉你们怎么看:Y是卡组中Basic的数量,P(60,7,Y,2) 是你起手至少摸到2张Basic的概率,(60,7,Y,3)是你至少摸到3张的概率。

我没有包括A大于3的情况,因为这概率太小了,很明显。这是这张表的颜色标注版:

P(At least A many Basic).xlsx

3.3:理想起手的概率

这个也在Daniel Lee的文章中有提到,但我把它叫做P(Y,Yi),是根据所有理想起手和Basic总数下的,起手有理想起始口袋妖怪的概率。在这个公式中,Y是Basic的总数,Yi是理想起手的数量。公式是:

3.3:公式3

在这个公式中,P(M,N,Y,1)是3.2模型P(M,N,Y,A)的特殊情况,A=1。很显然P(M,N,Yi,1)只是把Yi替换了Y。我不指望你们自己进行计算,尽管这个概率只是我们知道概率的一个比例系数。所以我也做了个数据表(希望帮你们省去了做除法的麻烦!):

3.3:表1

P(Ideal Starter).xlsx

3.4:起手有特定卡的概率

是时候讨论这篇文章的最终模型了:这个特殊模型对于卡组构筑很有价值,所以会被TCG玩家频繁使用,这就是P(M,N,X,Y):

3.4:公式4

哇,这是好大一个公式。好在你们不需要知道如何计算他!让我来解释这个模型:P(M,N,X,Y)是当卡组有M张卡,你将会抽N张卡,卡组中有X张你想要的卡的数量,有Y张Basic总数时你会抽到特定卡的概率。

真是很多信息。

为了简化这个怪物公式,我们讨论M=60和N=8的情况。这是因为这个公式只是用来计算你起手时有特定卡的概率(当你有60张卡库,摸8张,第8张是你在回合开始时摸的1张)。

这个公式假设你的手牌已经有了至少1张Basic。要注意的是X不能是Basic,因为Y是Basic的数量,X并不能适用于Basic。

你可能也注意到我们已经讨论了你起手摸到特定Basic的概率:3.3的P(Y,Yi) ,所以当你需要计算起手有特定Basic时,使用那个模型。现在我们完成了所有准备工作,这就是P(M,N,X,Y)的数据表:

3.4:表1

Opening Hand Probabilities.xlsx

有趣的是,正如你可以从数据表中看到,有更多的Basic会使你起手摸到特定卡的概率稍微增加!这是因为当你有更多Basic时,有更多不用重新抽牌的起手来包括想要的卡。

这么想:当你在游戏开始时,你保留的起手是当你至少有1个Basic的时候,对不对?那么当有更多Basic时,就会有更多的起手会被直接保留,所以有更高的可能起手会包括特定的卡。

你能通过从左向右(Basic数量从低到高)看3.4:表1,看出变化。好,我们已经分析了所有了游戏开始阶段会用到的公式,第3章也就此结束。

4.0:一点应用

现在我们有几个概率模型可以使用,让我们看看我们怎么来应用!简单的说,我要把这章分成几个小节来对应第3章。

4.1:P(M,N,X)的应用

这个模型的应用十分简单。我们能用来根据我们不想重新抽牌的频率,来计算我们该在卡组中下多少Basic。为了简化3.1:表1的数据,我们来分析我称之为的“10%窗口”。

举个例子,卡组有有7-8张Basic让你有60%-70%的窗口几率不重新抽牌。第4章的每一节会使用高亮的“10%窗口”表。这就是对应这个模型中Basic数量的窗口表:

4.1:表1

如你所见,我高亮了理想Basic数量的区域。它们之所以理想是因为将Basic数量保持在16以下(因为超过15张Basic会使你的卡组拥挤,我将来可能会提到),而且它们的百分比较高。

如果你卡组的Basic数量符合7-11的范围,那么你就有大约60%-80%的概率不重新抽牌。这在游戏中足够高了。

另一个应用就是看游戏开始时一张特定的卡被压奖品的概率。看3.1:表1的P(60,6,X)来确定一张卡被压奖品的几率。

这个模型的还有一个应用是确定一张特定的卡在某种情况下被抽到的几率,不仅仅只是游戏开始阶段。你能根据情况来修改M、N、X的值。

不幸的是,我没有时间来详细讲述这个。为了快速计算,我们来分析一个水箭龟/水马卡组:

开始分析这个卡组前,我们开统计Basic的总数。我们看到卡组中有9张Basic,这是在“7-11”的范围的中间,所以不重新抽牌的概率为大约70%。大多数顶尖卡组符合“7-11”窗口并不是件怪事(除了quad图腾鸟)。(这是13年的文章,当然之后还有别的卡组——编者)

通过筛选顶尖卡组来看多少适合最佳概率很有意思。我们在后面的公式中再来看这个卡组,然后进行总结。

4.2:P(M,N,Y,A)的应用

你可能注意到表2和表1一样小,你可能就猜到这个模型的应用也一样短。这个模型时用来确定游戏开始时你起手有一张以上Basic的概率。

然而,这个模型不仅仅能这么用。如果我们知道了你对手卡组能得到理想setup来实现1 KO的概率,我们就能用它来计算我们不会被donk的概率。

这是这么算的:

(100-P(M,N,Y,A))*Q = 不会被donk的百分比

Q是你的对手在游戏开始时有理想setup来KO你的前场的概率。

除此之外,你能用这个P(M,N,Y,A)来优化你不被donk的概率。我的下一篇文章可能会讲donk方案概率的大致研究,然后我们就能分析联赛中的现环境。(因为那时候先手是可以攻击的,所以这点还蛮重要的,现在就只有Latios EX了——编者)

为了在你的卡组中应用这个模型,只要去3.2:表1看你游戏开始时有至少有2张以上Basic的概率。10%窗口也会帮你选择起始口袋妖怪的数量。

如果我们看上面的水马卡组,我们看到Basic数量为9,对应起手有2张Basic的概率为:P(60,7,9,2)=40.06%,是在一般概率以下。可能看上去不是很好,但很快我们能理解这不是这么糟。

4.3:P(Y,Yi)的应用

很显然,这模型也显而易见。这是用来指出你起手有理想Basic的概率,Y是卡组中的Basic总数,Yi是你想起手的理想Basic。

注意3.3:表1的数据,你得到理想起手的概率不是通过理想起手Basic除以Basic总数然后转化成百分比得到的。

相反,这个模型考虑了摸到理想起手Basic和另一个Basic的概率,使得P(Y,Yi)比100*(Yi/Y)更高,除非Yi=Y。

在你的卡组中使用这个模型,你要统计所有Basic的数量,和理想Basic的数量,然后对比3.3:表1来得到你得到理想起手的概率。

选择合适数量的起手对于一个卡组来说至关重要,因为许多起手在游戏后期会成为废卡,所以优化它们起手摸到的概率很重要。我们也能通过这个模型看到donk发生的概率。

在水马卡组中使用这个模型,让我们假设我们想起手有1只以上:水马EX、爆炸头水牛或者超梦EX。那么概率为:P(9,5)=67.77%。因为我们的理想Basic都不太可能第一回合被KO,我们可以看到被donk的概率是十分低的。

我们不能简单的计算出起手有至少2个Basic或者理想起手的概率,因为理想起手中也包括手牌中有2个Basic。所以P(Y,Yi)和P(M,N,Y,A)相互影响。这可能需要进一步的论述。

4.4:P(M,N,X,Y)的应用

这是至今为止口袋妖怪TCG中最有用的模型。因为这个模型能告诉你你的卡组中该有多少Trainer卡(或者其他非Basic卡,比如能量)。这也很重要,因为许多游戏是被整局游戏中的support总数而左右结果的。(这个作者的support的意思就是Trainer加上Supporter——编者)

注意我强调了“整局游戏”。这是因为在游戏开始后,玩家使用Trainer卡和打出手牌中的Pokemon或者能量,卡库中的牌的数量变少了,从而使得没有用的support更有可能被摸到。

这显然是假设了玩家已经选择了卡组的理想Trainer/Supporter。

理想Trainer/Supporter:一张Trainer/Supporter的效果确保了卡组中一张或多张卡的检索。

有了合适的理想Trainer/Supporter数量,在整局游戏中你有更多的support选择。就像上面的解释那样,更多的卡被消耗,你就有更大的可能在抽牌时摸到support。希望你现在能更好的理解3.4:表1

因为我们在这一个小节中不能涵盖所有水马卡组中的不同卡,我们只举个例子。因为许多Supporter卡之间有连锁反应(N、白露、红豆杉能抓别的支援者,风露和随机接收器能检索1张),所以知道你起手时摸到Supporter的概率是很重要的。

如果我们把随机接收器算成“Supporter”(因为它会给你1张),那么在水马卡组中起手摸到至少1张Supporter的概率为:P(60,7,15,9)=90.36%。这是很高的额,确保了卡组能运行的十分流畅。

注意到因为Supporter之间有连锁反应,起手摸到了一张Supporter意味着更高的概率在整局游戏中有Supporter(如果你不浪费/弃掉它们)。

总结

最后,我想快速的回顾一下水马卡组:

起手不重新抽牌的概率:70.02%
起手至少有2张Basic的概率:40.06%
起手为EX或者爆炸头水牛的概率:67.77%
起手至少1张Supporter的概率:90.36%

这些数字告诉我们:这个卡组不会重新抽牌,不会被donk,起手有1张以上Supporter。你可能奇怪为什么这个卡组里会有DCE。

这是因为你起手有1张Supporter,1个能量,以及超梦EX、水马EX或爆炸头水牛中的1张的概率为:

P(60,7,9,15)P(60,7,9,16)P(9,5)=(90.369267.77)/(100^(2))=56.34%

这意味着你有50-50的几率起手有好的Pokemon,t1有能量贴和1个Supporter来得到t2攻击的能量。我发现用这个卡组t2攻击能带来很大的优势,尤其是面对噩梦/三头龙这样的卡组,因为t2 KO勾魂眼/单首龙对它们来说是毁灭性的。

最后,我想再给你展示卡表中模型的应用,因为分析卡表是了解游戏的最好方式。

龙头地鼠Hammertime

让我们分析这卡组:

起手不重新抽牌的概率:70.02%
起手至少有2张Basic的概率:40.06%
起手为至少1张勾魂眼或噩梦的概率:77.32%
起手至少1张Supporter的概率:86.18%(我们还是把随机接收器算成Supporter)

我们可以看到这个卡组有着更好的起手概率,因此不会被donk。我想指出这个rogue卡组有着更好的获得合适卡的概率,然而这并不表明这能成为顶尖卡组。

强的卡组和弱的卡组间不是由获得特定卡的概率来区分的,而是由这些卡的价值来区分的。举个例子,很快做出一个三头龙的概率很低,但是三头龙的价值很高,以至于围绕着这个低概率构筑卡组(噩梦/ 三头龙)能赢很多次。

这也和多少卡相互配合,多少卡在手牌中卡手等等有关。但是讨论这些事情的数字要等到以后了,我们要对文章进行总结了。

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我知道这篇文章讲了很多,你们可能一次只能读一章。所以十分感谢阅读!如果任何人有问题或者疑问需要解决(希望是数学上的),请随意的私信我。

就像我之前讲过,我可能会写几篇关于概率的文章(然而就这么一篇——编者),可能会讲得更详细一些。恭喜你看完了这篇关于口袋妖怪TCG的概率文章,我们下次见!

翻译完毕,以前的6p真是又免费又高质量。虽然是13年的文章,卡组的引擎也时过境迁,但是概率的算法亘古不变。希望能通过这篇文章帮大家回顾或者预习高中的知识,也希望大家能对之前那篇烈箭鹰的概率有着更好的认识。

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